任何形狀的信號(hào)都可以視作無(wú)限個(gè)不同頻率的正弦交變信號(hào)的疊加，在數(shù)學(xué)上用傅里葉序列來(lái)表述。假設(shè)有一周期信號(hào)x(t),其周期為T(mén),那么它的傅里葉序列為
式中，a0
、an
、bn
為傅里葉系數(shù)；
為各次諧波的頻率。常規(guī)的超聲檢測(cè)信號(hào)一般可認(rèn)為是有限時(shí)間的瞬態(tài)信號(hào)，而對(duì)于某一瞬時(shí)態(tài)信號(hào)x(t),可設(shè)定其周期T趨向于無(wú)窮大，這時(shí)序列可以寫(xiě)作:
這里傅里葉系數(shù)變?yōu)檫B續(xù)的頻率函數(shù):
式(3-5)即是著名的傅里葉變換，式（3-4)是傅里葉反變換，其中f代表頻率，x(f)為一復(fù)函數(shù)，其幅-頻和相-頻關(guān)系為
在超聲檢測(cè)中，幅-頻關(guān)系表示的是超聲回波信號(hào)聲壓隨頻率變換的關(guān)系，而相-頻關(guān)系則表示的是被檢測(cè)材料對(duì)不同頻率超聲波的滯后效應(yīng)。
如果將信號(hào)x(t)經(jīng)A/D采樣變成數(shù)字信號(hào)序列x(n)，則對(duì)照式(3-5)可得出其離散傅里葉變換( Discrete Fourier Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)DFT):
式中，n、k為序列號(hào); N為數(shù)字信號(hào)序列的點(diǎn)數(shù)。
為了減少運(yùn)算次數(shù)，縮短運(yùn)算時(shí)間，1965 年誕生了一種計(jì)算DFT的新方法，稱(chēng)為FFT算法。由式(3-8)可知，用標(biāo)準(zhǔn)的DFT法計(jì)算所有的Y(k)時(shí)，對(duì)于N個(gè)Y(k)中的每一個(gè)，必須作
的N次復(fù)數(shù)乘加運(yùn)算，則運(yùn)算整個(gè)序列需要的總運(yùn)算量為N2次復(fù)數(shù)乘加運(yùn)算。由于一次復(fù)數(shù)乘加等于四次實(shí)數(shù)乘加，因此，對(duì)于大的N值，運(yùn)算工作量將是相當(dāng)大的。
FFT是把整個(gè)序列分解成若干較短的序列作DFT計(jì)算，用以代替計(jì)算原始序列的DFT。只要計(jì)算出較短序列的DFT,然后通過(guò)巧妙的辦法把它們合并起來(lái)，就可得到整個(gè)序列的DFT。由于FFT使傅里葉變換的運(yùn)算速度提高了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，從而帶動(dòng)數(shù)字信號(hào)處理方法在振動(dòng)、聲學(xué)及若干領(lǐng)域獲得普遍應(yīng)用。
FFT的實(shí)現(xiàn)方式有三種，即通過(guò)通用計(jì)算機(jī)加FFT軟件、專(zhuān)用硬件或數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)加軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)。
用軟件在通用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)FFT具有通用性強(qiáng)、額外投資少等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是運(yùn)算速度慢。硬件FFT指的是用乘法累加器實(shí)現(xiàn)蝶形運(yùn)算，用控制電路實(shí)現(xiàn)對(duì)FFT運(yùn)算的控制(如循環(huán)等)。其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算速度快，但缺乏通用性。目前多用于對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的水聲、雷達(dá)等專(zhuān)業(yè)領(lǐng)城。借助數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)以及匯編語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算，是一種軟、硬件相結(jié)合的信號(hào)處理方式，不僅速度快，而且通用性好，目前成為振動(dòng)、聲學(xué)等領(lǐng)城中信導(dǎo)處理的主要工具。
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